Использование монотонности, оценок

Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение

не имеет решений.

Перепишем исходное уравнение следующим образом:

Пусть
Рассмотрим функцию Заметим,

при

— точка минимума,
Дополнительные точки:

Строим график функции в системе координат См. рис. выше.
Уравнение на не имеет решений (а значит и исходное уравнение не будет иметь решений), если

или

или

второе не равенство не имеет решений;

Ответ:

Найдите все значения параметра при которых уравнение

имеет хотя бы одно решение.

Перепишем исходное уравнение следующим образом:

Рассмотрим функцию
На исходное уравнение тогда можно посмотреть вот так:

для любых —монотонно возрастающая функция.

Тогда

Откуда (*)
Пусть Заметим,
Построим в системе координат параболу на
Вершина —

Чтобы уравнение (*), а значит и исходное, имело решение, необходимо (см. рис.):

Ответ:

Найдите все значения параметра при которых любое решение уравнения

Принадлежит отрезку

Рассмотрим функцию
Функция возрастает (как сумма возрастающих функций) на области определения принимает значения от до

Тогда уравнение имеет единственное решение. А так как это решение должно принадлежать отрезку то необходимо:

и

Стало быть,

и

Откуда

и

Ответ: